高三数学一轮复*基础导航 2.8三个“二次”.doc

发布于:2021-08-03 19:02:27

2.8 三个“二次”

【考纲要求】 1、理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义。 2、会运用函数图像理解和研究函数的性质。
【基础知识】 一、三个“二次”指的是一元二次函数在闭区间上的最值、一元二次不等式的解法和恒
成立问题、一元二次方程的根的分布,它是高中数学学*函数的一个较重要的基础知识。

二、一元二次函数 f (x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的几个重要结论

(1)二次函数解析式的基本形式

① 一 般 式 : f (x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ;

②顶点式:

f (x) ? a(x ? m)2 ? k (a ? 0) ③交点式: f (x) ? a(x ? x1)(x ? x2 ) (a ? 0)
(2) a 决定了抛物线的开口方向, a ? 0 时,抛物线开口向上; a ? 0 时,抛物线开口
向下。

(3)抛物线的对称轴方程是 x ? ? b ,顶点的坐标是 (? b , 4ac ? b2 ) 。

2a

2a 4a

(4) ? ? b2 ? 4ac 决定了抛物线和 x 轴的位置关系:当 ? ? b2 ? 4ac ? 0 时,抛物线和

x 轴相交;当 ? ? b2 ? 4ac ? 0 时,抛物线和 x 轴相切 ;当 ? ? b2 ? 4ac ? 0 时,抛物线 和 x 轴相离。
(5)抛物线过点 (0, c) ,在 y 轴上的纵截距是 c 。

(6)当 a ? 0 是,函数存在最小值 f (? b ) ? 4ac ? b2 ;当 a ? 0 是,函数存在最大值

2a

4a

f (? b ) ? 4ac ? b2 。

2a

4a

三、一元二次不等式 ax2+bx+c≥0( a ? 0 )的解法
解一元二次不等式最好的方法是图像法,充分体现了数形结合的思想。

(1)二次不等式 f (x) ? ax2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )

当 ? ? b2 ? 4ac ? 0 时,不等式的解集是{x | x ? x大或x ? x小} 。简记为大于取两边,
大于大根,小于小根。(使用这个口诀必须满足几个条件?)
当 ? ? b2 ? 4ac ? 0 时,不等式的解集是 R 。当 ? ? b2 ? 4ac ? 0 时,不等式的解集 是R。
(2)二次不等式 f (x) ? ax2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0 )

当 ? ? b2 ? 4ac ? 0 时,不等式的解集是{x | x小 ? x ? x中}。简记为小于取中间,大
于小根,小于大根。 (使用这个口诀必须满足几个条件?)
当 ? ? b2 ? 4ac ? 0 时,不等式的解集是{x | x ? ? b } 。当 ? ? b2 ? 4ac ? 0 时,不等 2a
式的解集是? 。
(3)当二次不等式 f(x)=ax2+bx+c≥0( a ? 0 )时,也可以画图,也可以把二次项的系 数 a 变成正数,再利用上面的结论。
四、一元二次方程 f (x) ? ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的根的分布

讨论一元二次方程 f (x) ? ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的根的分布一般从以下个方面考虑,

列不等式组:
(1) a 的符号
区间端点的函 数值的符号

(2)对称轴 x ? ? b 的位置 2a

(3)判别式的符号

(4)根分布的

五、一元二次函数 f (x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 在闭区间 ?p, q?上的最值

(1)求一元二次函数 f (x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 在闭区间 ?p, q?上的最值,主要是借助

函数的图像解答,充分体现了数学中数形结合的思想。

(2)如果对称轴和区间的相对位置是确定的,可以直接画图得到函数的最值;如果对称

轴和区间的相对位置不是确定的,则需按照对称轴和区间的位置分类讨论。

(3)二次函数 f (x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 在闭区间 ?p, q?上的最值只能在 x ? ? b 处
2a
及区间的两端点处取得,具体如下:

①当

a>0

时,若

x

?

?

b 2a

? ? p, q?,则

f

(x)

mni

?f ( ? b), f( x) 2a

max

max?

f(?p), (f )q

?;



x

?

?

b 2a

? ? p, q?,

f

(x)max

?max

?f

( p),

f

(q)? ,

f

(x)min

? min

?f

( p),

f

(q)?

②当

a<0

时,若

x

?

?

b 2a

? ? p, q?,则

f

(x)min

?

min? f

( p),

f

(q)? ,



x

?

?

b 2a

? ? p, q?,则

f

(x)max

?

max? f

( p),

f

(q)? ,

f

(x)min

?

min? f

( p),

f

(q)?

六、方法总结

1、解决与二次函数有关的问题(解二次方程、不等式等),主要是通过函数的图像分析

解答。

2、注意根据题设条件恰当选择二次函数的三种表达式,以简化解题过程。

3、二次函数 f (x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ,当 ? ? b2 ? 4ac ? 0 时,图像与 x 轴有两个

交点

A( x1 ,0),

B(x2 ,0), 则|

AB |?|

x1

?

x2

|?

|

? a|



【例题精讲】

例 1 不等式 (a ? 2)x2 ? 2(a ? 2)x ? 4 ? 0 对一切 x ? R 恒成立,求 a 的取值范围。

【解析】

当a ? 2时,-4<0恒成立 ?a=2

当a

?

2时,???a?

?2?0 ? 4(a ?

2)2

?

16(a

?

2)

?

0

??2 ? a ? 2

?综合得 ? 2 ? a ? 2

例 2 已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0.若方程有两根,其中一根在区间(-1,0) 内,另一根在区间 (1,2)内,求 m 的范围.
【解析】

由题设f(x)=x2 ? 2mx ? 2m ?1,由题得

? f (?1) ? 1? 2m ? 2m ?1 ? 0

?? f (0) ? 2m ?1 ? 0

? ?

f

(1)

?

1

?

2m

?

2m

?1

?

0

?? f (2) ? 4 ? 4m ? 2m+1 ? 0

?m? R

? ?m

?

?

1

?

?? ??m ?

?

?

2 1 2

???m

?

?

5 6

?? 5 ? m ? ? 1

6

2

例 3 函数 f (x) =x2-2x+2 在区间[t,t+1]上的最小值为 g(t) ,求 g(t) 的表达式及

其最值。
【解析】 ∵f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1,因 x∈[t,t+1]。
(1)当 t≤1≤t+1,即 0≤t≤1 时,函数最小值在顶点处取得,即 g(t)=f(1)=1。
(2)当 1>t+1,即 t<0 时,f(x)在[t,t+1]上是减函数,此时最小值为 g(t)=f(t +1)=t2+1。
(3)当 1<t 时,f(x)在[t,t+1]上是增函数,此时最小值为 g(t)=f(t)=t2-2t+2
? t2 ?1 (t ? 0) ∴当 x∈[t,t+1],f(x)的最小值是: g(t)= ??1 (0 ? t ? ?)
??t2 ? 2t ? 2(t ? 1)

当 t ? 0 时, t 2 ?1 ? 1 ;当 0 ? t ? 1时, g(t) ? 1

当 t ? 1时, g(t) ? t 2 ? 2t ? 2 ? (t ?1)2 ? 1 ? 1

所以函数 g(t) 的最小值为 1,没有最大值。

【基础精练】

2.8 三个“二次”强化训练

1、已知函数 y ? 6x ? 2x 2 ? m 的值恒小于零,那么 ( )

(A) m ? 9

(B) m ? 9 2

(C) m ? 9 2

(D) m ? 9 2

2、不等式 2x2 ? 5x ?12 ? 0 的解集是

;不等式 ?3x2 ? 2x ? 2 ? 0 的解集







3 、 不 等 式 x2 ? 2x ? 3 ? 0 的 解 集 是

; 不 等 式 (1? 2x)(2 ? 3x) ? 0 的 解 集 不 等 式 x2 ? x ?1? 0 的 解 集



;不等式 4x2 ? 4x ?1 ? 0 的解集是



4、已知不等式 ax2 ? bx ? 2 ? 0的解为? 1 ? x ? 1 ,则 a =

;b =



2

3

5、方程 x2+(2m-1)x+4-2m=0 的一根大于 2,一根小于 2,那么实数 m 的取值范围





6、已知函数 y ? x2 ? 2x ? 3 x ?[?2,3] ,则当 x ?

时,函数取得最大值



当x?

时,函数取得最小值



7、 已知二次函数 f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1,若在区间[-1, 1]内至少存在一

个实数 c,使 f(c)>0,则实数 p 的取值范围是_________

8、二次函数 f(x)的二次项系数为正,且对任意实数 x 恒有 f(2+x)=f(2-x),若 f(1-

2x2)<f(1+2x-x2),则 x 的取值范围是_________

9.不等式 (a ? 2)x2 ? 2(a ? 2)x ? 4 ? 0 对一切 x ? R 恒成立,求 a 的取值范围。

10、已知关于 x 的二次方程 x2+2mx+2m+1=0.若方程有两根,其中一根在区间(-1,0) 内,另一根在区间(1,2)内,求 m 的范围.

【拓展提高】
1、 函数 f (x) =x2-2x+2 在区间[t,t+1]上的最小值为 g(t) ,求 g(t) 的表达式及其
最值。

2、一个小服装厂生产某种风衣,月销售量 x(件)与售价 P(元/件)之间的关系为 P=160 -2x,生产 x 件的成本 R=500+30x 元
(1)该厂的月产量多大时,月获得的利润不少于 1300 元? (2)当月产量为多少时,可获得最大利润?最大利润是多少元?

【基础精练参考答案】

3. ? ; R ;{x | x ? ? 1}【解析】直接根据一元二次不等式的知识分析解答。 2

?

?a ? 0

4.

a

?

?12,

b

?

?2

【解析】由题得

???? ?

1 2

?

1 3

?

?

b a

?

?a ??b

? ?

?12 ?2

????

1 2

?

1 3

?

2 a

5. m ? ?3【解析】由题得f (2) ? 4 ? 2(2m ?1) ? 4 ? 2m ? 0 ?m ? ?3

6.3,12。 ?1,?4.【解析】直接画出二次函数的图像即得。

7. (-3, 3 )【解析】只需 f(1)=-2p2-3p+9>0 或 f(-1)=-2p2+p+1>0 即-3<p< 3

2

2

或- 1 <p<1∴p∈(-3, 3 )

2

2

8.-2<x<0【解析】由 f(2+x)=f(2-x)知 x=2 为对称轴,由于距对称轴较*的点的纵

坐标较小,

∴|1-2x2-2|<|1+2x-x2-2|,∴-2<x<0

9.【解析】

当a ? 2时,-4<0恒成立 ?a=2

当a

?

2时,???a?

?2?0 ? 4(a ?

2)2

?

16(a

?

2)

?

0

??2 ? a ? 2

?综合得 ? 2 ? a ? 2

10.【解析】

由题设f(x)=x2 ? 2mx ? 2m ?1,由题得

? f (?1) ? 1? 2m ? 2m ?1 ? 0

?? f (0) ? 2m ?1 ? 0

? ?

f

(1)

?

1

?

2m

?

2m

?1

?

0

?? f (2) ? 4 ? 4m ? 2m+1 ? 0

?m? R

? ?m

?

?

1

?

?? ??m ?

?

?

2 1 2

???m

?

?

5 6

?? 5 ? m ? ? 1

6

2

【拓展提高参考答案】 1【解析】 ∵f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1,因 x∈[t,t+1]。 (1)当 t≤1≤t+1,即 0≤t≤1 时,函数最小值在顶点处取得,即 g(t)=f(1)=1。 (2)当 1>t+1,即 t<0 时,f(x)在[t,t+1]上是减函数,此时最小值为 g(t)=f(t
+1)=t2+1。 (3)当 1<t 时,f(x)在[t,t+1]上是增函数,此时最小值为 g(t)=f(t)=t2-2t+2

? t2 ?1 (t ? 0) ∴当 x∈[t,t+1],f(x)的最小值是: g(t)= ??1 (0 ? t ? ?)
??t2 ? 2t ? 2(t ? 1)

当 t ? 0 时, t 2 ?1 ? 1 ;当 0 ? t ? 1时, g(t) ? 1

当 t ? 1时, g(t) ? t 2 ? 2t ? 2 ? (t ?1)2 ? 1 ? 1

所以函数 g(t) 的最小值为 1,没有最大值。


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